论概率的相对性
摘要：指出了现有概率论的局限性，它没有认识到概率的如下特点：首先，先验概率和后验概率的划分不是绝对的，先验概率本身也是条件概率；其次，概率未必绝对是固定的，可能是随机的；还有，概率是随着条件的增加而进化的。最后，概率是复杂性。同时分析了概率论在应用中的一些误用。
关键词：概率论；相对性；条件概率；信息论
On Relativity of Probability
Abstract: The limitations of present probability theory is pointed out. It cannot take cognizance of the following characteristics. Firstly, the division of prior probability and posterior probability is not absolute, prior probability is conditional probability actually.Secondly, probability is not absolutely fixed,and it may be random. Thirdly, probability is evolving with the increase of the conditions. Finally, the probability is complicated. Some misuses of application of probability theory is analyzed.
Keywords: probability theory，relativity ,conditional probability , information
中图分类号：O211 文献标识码：A MR分类号：60A10
引言
目前的概率理论并非可以解决所有的概率问题。比如对事件的概率，可能不同的条件，或者不同的人会给出不同的概率，那么应当如何来综合和折衷，概率论并没有解决。这些问题没有得到研究源于概率论本身具有局限性，目前的概率论是以柯尔莫哥洛夫（kolmogorov）公理系统为基础的[1]。该公理系统具有一定的局限性，比如菲纳特和熊大国等学者指出了该公理系统的一些缺点和不足[2]。
概率论的局限性分析
目前的概率论中，没有考虑到条件是多种多样的，比如动不动会给出条件概率值，但是条件概率值往往是未知的，而且可能还是随机的。一旦条件概率是未知的时候，我们解决多个条件下的概率问题就无能为力了。概率可能是随机分布的，但是我们的概率表述中往往是给出一个定值，这造成许多概率的理论应用中，都把概率当作一种固定值来考虑，进而会有许多局限性，比如在信息论中就是如此[3]。我们从一下几个角度来分析概率论的局限性和概率的相对性：
首先，概率论中，把先验概率和后验概率绝然分开。实际上，这种先后都是相对的。比如先验概率也是在某种情况下才能得出的，有一定的已知条件，否则概率的来源就没有基础，当然已知先验概率的分布本身也可以看成是一种条件，这个条件可以表述为：已知各种可能值的先验概率分布分别是多少。此外，还存在多个条件的情况，这样的情况下，它们的先后关系是可以互换的。假如我们对一个事件一无所知，那么它有几种可能随机的结果都不知道，别说这些结果各自的概率了，可见，我们得出的先验概率也是基于已知的条件的，先验概率也是一种条件概率。认识到概率是相对于相应的各种形式的条件的性质有助于在分析中有意识地、仔细地去认定每一个存在的条件，将不同的条件区分开，而不是混为一谈，从而能够有效区分相应的各种概率。实际上由于一些条件的隐蔽性，往往不能充分认识到许多条件的存在。
其次，有些条件下，概率并不是固定的，概率虽然是描述随机不确定性的，但是，概率本身也未必是确定的、恒定的，它也可能是一个随机变量。现实中不确定的事件往往比确定的多。概率也有自己的随机不确定性，好比导数也有自己的导数，多阶导数等。举一个例子来说明概率的不确定性：对某事做实验，得到了它各种结果（可能值）发生的概率，但是实验的结果与理论上的概率绝大多数情况下是有差别的。如果我们对此事及其结果发生的情况一无所知，但是仅仅知道实验的结果，我们以此为条件，则可以得出事件可能结果发生的理论上的概率是一个以实验得出的概率为中心的一个随机的分布。这说明在某些条件下概率是不确定的。再比如，当我们以不可靠的方式得到某事发生的各自可能的概率分布的时候，理论上的真实概率依然是以这个概率为中心的一个随机分布，此时概率并不是确定的。一些人有概率是定值的看法可能是源于：把某种概率是定值的情况作为基本的前提，然后认定概率是不变的，比如抛硬币的正反概率（不考虑硬币正反不同造成的影响）。有时候，还会有不区分条件的变化，把此条件的概率当作彼条件下的概率，从而导致错误。认识到这种概率的随机性，有助于我们摆脱传统概率论的框架，不再把随机的值当作确定的值，把未知的值当作已知的值。现实中，我们得到的条件和信息往往不是绝对可靠的，则真实的概率具有一定的随机性，我们用这些条件和信息得到的概率来取代真实的概率是具有一定相对性的，或者说是不可靠的。
再次，概率是随着已知条件的增加而进化的，是相对于我们的已知条件的。波普尔和达尔文都有进化的思想，概率也是根据条件来进化的。已知条件越多，概率就越可靠。另外，好比人对事件的了解往往是从未知到已知的，对某事发生的概率的了解大多数情况下也是不确定到确定的。笔者提出了一种概率几何平均问题，在条件满足一定的条件下，可以把不同的条件下的概率进行概率几何平均并进行归一化处理，得出这些条件同时存在的情况下的概率。该算法如果有任何一个条件能够确定某一结果发生的概率为1，其他结果为0，这几何平均的结果则一直保持这个结果发生的概率为1。目前的概率论没有很好认识这一点，而且也缺乏对不同的条件进行融合的概率计算方法。对事件的了解从不确定到最后确定，是因为已知的条件发生了改变，概率随着条件发生了改变。认识到这种逐步进化的相对性，有助于我们更加深入理解并且应用概率论，认识到从未知到已知，从不确定到确定的改变本身也是一种概率的演化。现实中，我们往往知道事件的片面的条件，所以得到的概率也是片面的，相对于我们的已知条件而言的。
最后，现实中的概率比目前概率理论中复杂得多，比如关于股市涨跌的概率具有多方面的复杂性。第一，假如有人根据股市的现在状况，包括股民的心态，总结出了股市的动态概率的规律，一旦有人了解到此规律，并且充分利用此规律来炒股的时候，股市的规律将会变化，比如如果大家只是简单从众，可能股市涨的时候就更涨，跌的时候更跌，一旦到跌的时候，就很惨，但是如果通过研究发现股市物极必反的规律，大家就会规避，在涨到一定程度就收手，这样股市的规律就会改变了，从而相应的概率就会改变。第二，还是从股市来说，如果大家都是不了解其他股民的决策，特别是以后的决策，可能就会分析股市的涨跌，如此可以得出股市的一个涨跌概率，但是如果了解其他股民未来的决策，就会根据相应的决策来决定自己的最优决策，从而此时的股市涨跌概率将会改变。第三，由于股市的变化是取决于众多不确定性因素，包括股民和上市公司的运作情况，而且这些情况互相影响和作用，股市的涨跌概率也是一个多重不确定的量。以上方面可以说明概率的复杂性。但是由于概率理论没有考虑足够复杂的问题，一些公式，比如全概率公式、bayes公式，都是把条件概率作为已知的，固定的值来看待，这往往给一些学者带来误解，从而，生硬死板地应用这些公式，导致一些问题。
从以上的一些分析也可以看出，条件本身也是多样化的。比如，条件还可以是实验结果、定理、规律、知识、常识、语言的翻译转换方法、语法、编码的方式、信息的可靠性等，特别是当涉及到语义的时候，编码方式、语法、定义，这些往往是公认的、基础性的，隐含的条件，由于它们的公认性，所以具有隐蔽性，往往不以为是一种条件。如果不能认识到这些条件的存在，就可能得出一些悖论。
概率论在应用中的一些问题
传统的概率论虽然没有明确说明是一种绝对概率论，但是由于理论的不完善，没有充分认识到概率论的相对性，无论是在理论上，还是在应用中，往往不觉陷入一种绝对的概率论的思路中。
概率论的一个重要的应用领域是信息论。信息论中，香农利用概率论的时候，也往往利用以前概率论的模型。但是，信息论在许多地方是局限的，比如求Y发生时X的条件熵，香农仅仅认为Y是已知条件，没有把条件概率作为已知的条件，但是却把它作为定值代入公式中。当然条件熵的问题还不仅仅如此，还有更多的问题，将另外辑文探讨。现实中，我们知道大量的条件，以香农的做法，可能有许多的条件熵，但是实际上由于我们并不知道这些条件是否与X相关，不知道它的各种可能对X的条件概率，所以这些条件熵无法求解。这也说明，还需要其他的条件。另外也引出一个问题，当多个条件存在的情况下，如何来求最终的条件熵，这是香农信息论没有考虑的问题，由于信息论只考虑通信双方，可以用X和Y分别表示通信双方，所以可以不考虑太多的条件，但是考虑现实中的信息问题就需要解决这个问题。
香农只是认识到了事件的不确定性，但是没有认识到概率本身也可能是不确定的。比如如果这个信息是不可靠的，那么可能它的概率不是一个定值，而是一个随机变量，也可以说，香农的随机不确定性的本身也是有随机不确定性的。实际上目前的超熵理论，也是在研究这个问题，超熵就是熵的熵，更加通俗地说是随机不确定性的随机不确定性。不过还不能确定概率的不确定性用超熵来表示就是正确的。
在全概率公式和bayes公式中，所有的概率都是在同一条件下的，也就是说这个先验概率的条件都是一样的，随后的条件是在先验的条件基础上的，这是等式成立的基础。笔者曾经指出在一些证明中bayes公式被误用[4]。在进行代换的时候没有考虑把不同的两种情况区分开，在两种不同的情况下的各种先验和后验的概率是不一致的，将不同的情况下的概率值代入公式中，最终得出的结论是不可靠的。
结束语
只有当我们对事件发生的所有的相关的条件有了解，并且了解这些相关性，比如各自的条件概率，而且这些条件都是可靠的时候，我们才有可能知道未知事件的发生的概率。但是在现实中，由于信息的不可靠，信息的不完全，往往得到的概率是相对的，与真实概率有差距。本文分析了这种概率的相对性，但仅仅是抛砖引玉，针对这类问题还有大量的新问题尚需要研究，比如关于信息的可靠性和信息的完备性相关的理论研究。本文提出的问题与由美国国家自然科学基金委员会组织的有关“当前和显露出来的概率论学科中研究机遇”研讨会中的问题有相近之处[5]。这两类的问题除了在概率统计领域广泛存在，而且在其他的领域，特别是信息技术领域有着广泛的应用。本文提出的相对性问题不仅仅利于概率论理论发展，还可以有效纠正目前对概率论的一些误用和肤浅认识，利于促进其他的应用性学科发展完善。
参考文献
[1] Kolmogorov A N． Grundbegriffe der Wahrsche—inlichkeitsrechnung[M ]． Berlin： Springer—Verlag， 1933．
[2] Xiong Daguo． The natural axiom system of probability theory- Mathematical model of the random universe[M]．Singapore：World Scientific Publishing Co．，2003．
[3] 程士宏．高等概率论[M]．北京：北京大学出版社， 1996．
Cheng Shihong．Advanced probability theory[M]． Beijing：Peking University Press，1996．(in Chinese)
[4]王勇，朱芳来，一次一密体制的安全性分析与改进，四川大学学报（工程科学版），2007，39（5）增刊
WANG Yong，ZHU Fanglai，”Security Analysis of One-time System and Its Betterment”，Journal of Sichuan University(Engineering Science Edition)，2007,supp. 39（5）:222-225
[5] 林正炎，苏中根，张立新译．当前概率学科中的研究机遇．数学进展，2004年02期．
Lin Zhengyan,Su Zhonggen Zhang Lixin , current and emerging Research opportunities in probability,Advances in mathematics (china),2004(02)
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2007/11/30 17:20:00
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