任何2n(n>2且是素数)的群在同构的意义下是否都只有2个,一个是循环群,另一个是由a ,b 生成的群,a的阶为n,b 的阶为2,且为这种形式(e,a,a^2,...a^(n-1),b,ab,a^2*b,............a^(n-1)*b)

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2、事实上，根据Sylow第三定理，所有的2p阶群都能写成{e, a, ab, ab^2, ..., ab^(n-1), b, b, b^2, ..., b^(n-1)}的形式。只是对应的运算规则不同而已。2p阶循环群所对应的规则就是a*b^i = b^i*a（由这个规则就可以唯一地确定任意两个元素间的运算，比如a*b^j*a*b^t=a^2*b^(j+t)=b^(j+t)）。如果G是满足上述运算规则的2p阶群，则作映射f:G->C_2p，f(a)=x^p，f(b)=x，易证，f是从G到2p阶循环群的C_2p的同构。

3、所有的交换群都可以表示为若干个循环群G_1,G_2,...,G_k的直积，其中每一个G_i（1≤i≤k）的阶都是某个素数p_i的幂次。所以，在同构意义下，2p阶交换群必然同构于C_2*C_p，当p>2时，C_2*C_p=C_2p，从而2p阶交换群只有2p阶循环群C_2p这一种。

4、如果修改的运算规则，则可能其它的非同构情形。例如，对所有n≥3，有群D_n = {a^i * b^j | 0≤i≤1, 0≤j≤n-1, a * b = b^(n-1) * a}。如果把每个元素a^i*b^j看作是对正n边形各顶点的一个置换，其中a表示将正n边形翻转一次，b表示将正n边形顺时针旋转一“格”（即360/n度），那么D_n就是所有通过旋转和翻转能做出的关于正n边形顶点的置换。这样的群称为“二面体群”。根据公式a*b=b^(n-1)*a可以推出任意两个元素之间的运算规则，它显然是非交换的。

5、这就是说，2p阶群至少有两个，一个是循环群，一个是非交换的二面体群D_p。但未必只有这两个。

6、我相信存在素数p>2，使得2p阶群不止两个，但我不能确定最小的反例是哪个（也许是p=7？）。等我算算……

我认为那个命题不成立的原因是：
1、我看过的教材中，证明6阶和10阶群只有两种非同构的形式时，都是一个一个地分析，很麻烦，没看出有什么一般性的方法。
2、如果那个结论成立，应该是一个关于群的结构的很重要结论，群论书至少应该提及。但我从没看过这个结论。
3、从结构上看，依次令aba=b、aba=b^2、aba=b^3、...、aba=b^(p-1)，可以得到p-1个不同的运算法则。如果那个命题成立，意味着aba=b^2、aba=b^3、...、aba=b^(p-2)所对应的群都同构于D_n（它们都不是交换群，所以不可能同构于C_2p）。但我觉得这个不大可能……

还有那个历年真题的答案你的全不全,给俺传一份好吗

听君一席话,我以前都没看过书..........
bigsun008@126.com

这里有我以前写的参考书推荐：http://www.ieee.org.cn/dispbbs.asp?boardID=67&ID=32661

如果有空，我建议看其中胡冠章的《应用近世代数》。深度比指定教材深一些，但又不算太难懂。

Sylow三定理一般的抽象代数书上都有（只是有的书把它写成一个定理的几小点，或者把一个写成定理，其它的写成推论）。

Sylow第一定理  对一个n阶群G和任何素数p，如果p^k整除n，但p^(k+1)不整除n，那么对所有0≤i≤k，都存在G的p^i阶子群。其中，称G的p^k阶子群为“Sylow p-子群”。

Sylow第二定理  设G为n阶群，p为素数，则G的任何p^i阶子群都包含在一个Sylow p-子群之中，且所有Sylow p-子群是共轭的。

推论  有限群G的Sylow p-子群是正规的当且仅当G只有一个Sylow p-子群。

Sylow第三定理  设G为n阶群，p为素数，p^k整除n，但p^(k+1)不整除n（从而n=p^k*m，其中m与p互质）。若G共有r个Sylow p-子群，则 (r mod p) = 1 且 r 整除 m。

对于你给的命题，设G有r的Sylow p-子群，那么由Sylow第三定理，(r mod p) =1，即，r=sp+1，其中s为非负整数。同时又有 r | m = 2，即，sp+1|2。因为p>2，所以若s≥1，就有sp+1>2，矛盾。从而必有s=0，r=1。这就是说，G有唯一的p阶子群H。这就是说，G=H∪aH且a必是2阶元（因为H是G中唯一的p阶子群，所以所有的p阶元都在H中），从而G就是你说的那种形式了。

突然想明白了，这个命题是对的。@_@
证明如下：
前面已经证明，G如果是2p阶的，则G有唯一的p阶子群H≌C_p（从而G中有且仅有p-1个p阶元，记作b,b^2,...,b^(p-1)），并且G的元素可写成{e,b,b^2,...,b^(p-1),a,ab,ab^2,...,ab^(p-1)）。下面考虑元素ab的阶|ab|。由于|ab|整除2p，所以|ab|可能的取值只有1、2、p和2p。因为ab≠e，所以|ab|≠1，又因为ab不属于H，所以|ab|≠p。如果|ab|=2p，那么G是循环群。如果|ab|=2，那么abab=e，即，aba=b^(-1)=b^(p-1)，G≌D_p......

课件真的很有用啊，以前没看过就,惭愧........................