------为啥有限集到自身的满射必是单一的..............

------6阶群到18阶群的所有同态映射是哪几个

2、用归纳法，对集合的阶数作归纳。

3、6阶群到18阶群？6阶什么群？18阶什么群？循环群？

虽然知道答案，但头脑中没这个概念，联想不出来.....

没想出来,不过到想到了这个

对于{(e,a),*}来说 a^2=e,a!=e,e是单位元,到自身映射   f(a)=a^2
是单射吗?.....................

你这个是满射？

我想到几个证法，不过感觉都不是特别理想。

命题：对任何自然数n，若S是n阶有限集，T是任意集合，card T≥n。若f:S->T是满射，则f必是单射（从而是双射）。

证法一（直接使用归纳法）：对n作归纳法。
    当n=1时，从S到任何集合映射都必然是单射（因为对所有x,y∈S，恒有x=y，所以“f(x)=f(y) -> x=y”恒为真）。
    若n=k时，命题成立。则当n=k+1时，设φ和是S到n双射。设f:S->T是从S到T的满射。
    令x=φ^{-1}(k)，记f(x)=y。
    下面证明，f^{-1}(y)={x}（即，不存在其它元素z≠x，使得f(z)=y）。若不然，则有f(S-{x})=T。此时f↑(S-{x})是从S-{x}到T的满射，|S-{x}|=k，由归纳假设，f↑(S-{x})是双射。这就是说，k=|S-{x}|=|T|，这与前提card T≥n=k+1矛盾。
    这就是说，必有f((S-{x})=T-{y}。此时，f↑(S-{x})是从S-{x}到T-{y}的满射，|S-{x}|=k。由归纳假设，f↑(S-{x})是单射。
    对任何x_1,x_2∈S，若f(x_1)=f(x_2)，分两种情况：
    情况一：若f(x_1)=f(x_2)=y，则由于f^{-1}(y)={x}，所以必有x_1=x_2=x。
    情况二：若f(x_1)=f(x_2)≠y，则x_1,x_2∈S-{x}，而f↑(S-{x})是单射，从而 f(x_1)=f(x_2) => f↑(S-{x})(x_1)=f↑(S-{x})(x_2) => x_1=x_2。
    总之，对任何x_1,x_2∈S，若f(x_1)=f(x_2)，就有x_1=x_2。这就证明了f是单射。
    
证法二（使用选择公理）：反设f不是单射。则令D={f^{-1}(x) | x∈T}。由选择公理，存在映射g:D->S，使得对所有x∈D，有g(x)∈x。由D的定义和g(x)∈x易证，g是单射。
    令h=g·f^{-1}。注意到，h不是满射（因为f不是单射，所以存在a,b∈S，a≠b，f(a)=f(b)。反设h是满射，则存在元素A,B∈D，g(A)=a≠b=g(B)，由于g是映射，所以A≠B。但由定义应有，A=f^{-1}(a)=f^{-1}(b)=B。矛盾）从而h(S)是S的真子集。
    另一方面，由D的定义和g的性质易证，h是单射。这就是说，h是从S到h(S)的双射。这与教材定理5.5的推论1“不存在与自己的真子集等势的有穷集合”矛盾。

证法三（利用自然数“最小元”性质）：修改“证法二”中g的选择方法。由于S是有限集，所以存在自然数n和双射φ:S->n。对任意A∈D（D的定义见“证法二”），令g(A)=φ^{-1}(min(φ(A)))。即，g(A)为A中“编号”（φ(x)的大小）最小的一个。
    其余部分同“证法二”。