解释地非常清楚，谢谢。群这样一章特别是置换群这一张我感觉有点难，看地很慢，以函数为元素的集合考虑起来有点费神。。。

只是有点疑问，每p个排列对应一个p-轮换，书上没有这个结论。但我觉得它是对的，可是我又想不出如何证明它？能否给点提示？

大致这样想吧：
1、如果一个p-轮换f = (i_1 i_2 i_3 ... i_p)，不妨设其中i_k=1，那么我们可以把f重写成(i_k i_{k+1} i_{k+2} ... i_p i_1 i_2 ... i_{k-1})。显然，这个写法和原来的f是等价的。
2、上面这个论证是说，对每一个p-轮换f，至少存在一个“以1开头的p的全排列”与之对应。反过来，你可以证明，这种与之对应的“以1开头的p的全排列”是唯一的。这样p-轮换的个数就和“以1开头的p的全排列”的个数相同。而后者的数量是(p-1)!（因为它是“从2到p”这p-1个数字的所有全排列）。

对，谢谢。

设d是Sp的一个元素
现证|d|=p,则d可以写成（ik1，ik2，。。。。ikl）的形式
假设d不能写成上述形式，则d写成d=t1t2...tm的乘积的形式
其中t1 t2 。。。tm是不交的轮换 并且t1 t2 。。。tm的阶为a1 a2 。。。am
并且它们都显然是小于p的
则由定理17.19之二 p=|d|=[a1,a2....,am]
与p是素数矛盾
再证l=p
假设l和p不相等
则由定理17.19之一 |d|=l 与|d|=p矛盾
因此 d可以写成（ik1，ik2，。。。。ikp）的形式
再证这样的排列有(p-1)!个
任取d中的一个元素比如a
则d(a)必然不等于a
否则d可以写成d=(a)t的形式 与已证矛盾
不妨令d(a)=b
则d(b)不等于b且d(b)不等于a 那么 d(a)有p-1个可取的值
不等于b是因为一一映射 不等于a是因为若等于a 则d可以写成d=(ab)t的形式
与已证矛盾 故d(b)有p-2个可取的值
一直推下去 到第p-1个元素 只有一个可取的值
对于第p个元素，设为x 则d(x)别无选择,只能为a
故共有(p-1)*(-2)......2*1*1=(p-1)!个p阶元

我认为，在这一步上：（红色字体为引用10楼内容，下同）

再证这样的排列有(p-1)!个
……
……
故共有(p-1)*(-2)......2*1*1=(p-1)!个p阶元

我们可以使用组合数学中的递推公式来解决：在有了这一步为前提下

任取d中的一个元素比如a
则d(a)必然不等于a
否则d可以写成d=(a)t的形式 与已证矛盾

问题转化为，从1到p，共p个数排列，要求p不能排列在第p个位置上，共多少种排法？
设p=n时有H(n)种排法：
显然有H(2)=1。 (*)

又因为当有n-1个数已经在1到n-1的位置上错位排列好后，数n不能排列在第n个位置上，所以对前面的H(n-1)中排法的每一种，n都可以排列在1到n-1的任何一个位置上，而原处在该位置的数可排在第n个位置上，故有H(n)=(n-1)*H(n-1)  (**)

由(*)式和(**)式可得，H(n)=(n-1)!
所以，Sp恰有(p-1)!个p阶元。

PS：不知这么答题的话，考试的时候能不能答完……