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zsmjlu

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	楼主

对logician以前的发表的话题一点疑问

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
   是否把某个元素（如单位元）看作代数常数（零元运算）是我们在定义代数系统是自行确定的。<M_2(R),·,(1 0\\0 1)}>和<M_2(R),·>不是同一个代数系统。前者有一个零元运算（即代数常元）：(1 0\\0 1)，而后者没有代数常元。
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
首先肯定大虾的说法，而教材上227上说在不产生误解的情况下,可以不写出代数系统的所有成分,例如:<N,+,0>可以为<N,+>或N
这.....如何解释,这个"不产生误解的情况"是指什么情况```````````

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用怀疑的目光看这个世界得一切``````

2006/8/25 19:50:00

Logician

  威望：9
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	第2楼

我认为"不产生误解的情况"是指"已经通过其它方式说明了它的代数常元的情况"。比如对于群，我们知道，群中必然有单位元、有逆元。所以如果我们说群<Z,+>就不会产生误解。从代数系统的角度上说，“群<Z, +>”就是“代数系统<Z, +, -1, 0>”。
----------------------------------------------
Three passions, simple but overwhelmingly strong,
have governed my life: the longing for love, the
search for knowledge, and unbearable pity for the
suffering of mankind.
- Bertrand Russell

2006/8/25 20:28:00

Smilingface

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	第3楼

以下是引用Logician在2006-8-25 20:28:00的发言：
我认为"不产生误解的情况"是指"已经通过其它方式说明了它的代数常元的情况"。比如对于群，我们知道，群中必然有单位元、有逆元。所以如果我们说群<Z,+>就不会产生误解。从代数系统的角度上说，“群<Z, +>”就是“代数系统<Z, +, -1, 0>”。

我同意
我认为"不产生误解的情况"是指"已经通过其它方式说明了它的代数常元的情况"。
但我不同意这句话
从代数系统的角度上说，“群<Z, +>”就是“代数系统<Z, +, -1, 0>”。
本来logician在那个帖子里做的解释已经让我彻底明白了，代数常元是任意指定的，但是现在要是又这样说的话，又把特异元素和代数常数混在一起了。
所以我觉得对代数常数的理解还是坚持以前logician所说的代数常数是任意指定的，以及"不产生误解的情况"是指"已经通过其它方式说明了它的代数常元的情况"就够了。

2006/8/25 20:43:00

zsmjlu

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	第4楼

以下是引用Smilingface在2006-8-25 20:43:00的发言：
[quote]以下是引用Logician在2006-8-25 20:28:00的发言：
我认为"不产生误解的情况"是指"已经通过其它方式说明了它的代数常元的情况"。比如对于群，我们知道，群中必然有单位元、有逆元。所以如果我们说群<Z,+>就不会产生误解。从代数系统的角度上说，“群<Z, +>”就是“代数系统<Z, +, -1, 0>”。
[/quote]
我同意
我认为"不产生误解的情况"是指"已经通过其它方式说明了它的代数常元的情况"。
但我不同意这句话
从代数系统的角度上说，“群<Z, +>”就是“代数系统<Z, +, -1, 0>”,

Smilingface好象没理解Logician的意思，他的意思我理解是这样,
群<Z, +>”就是“代数系统<Z, +, -1, 0>”,此时我们已经默认或承认单位元0就是它的常元,
对于群来说它同时就是代数系统,

我不同意logician的是课本227页上说 [I][size=4]代数系统<N,+,0>可简记为<N,+>,[/[/size]I]此时<N,+,0> 不是群吧,也能记为<N,+>
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2006/8/25 21:27:00

Logician

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	第5楼

以下是引用Smilingface在2006-8-25 20:43:00的发言：
我同意
我认为"不产生误解的情况"是指"已经通过其它方式说明了它的代数常元的情况"。
但我不同意这句话
从代数系统的角度上说，“群<Z, +>”就是“代数系统<Z, +, -1, 0>”。
本来logician在那个帖子里做的解释已经让我彻底明白了，代数常元是任意指定的，但是现在要是又这样说的话，又把特异元素和代数常数混在一起了。
所以我觉得对代数常数的理解还是坚持以前logician所说的代数常数是任意指定的，以及"不产生误解的情况"是指"已经通过其它方式说明了它的代数常元的情况"就够了。

我觉得我的举例没有问题呀……
我们可以这样重新定义“群”：群是一个有3个运算的代数系统<A,*,-1,e>，其中二元运算*满足结合律，一元运算-1满足“对任意x∈A，x*x^(-1)=e”，而e是代数常元，且e满足“对任意x∈A，x*e=e*x=x”。
这一观点在教材习题17.37中提到过。
当然，教材上的定义不是这样的。教材上把群<A,*>定义是只有一个二元运算，没有一元和零元运算的代数系统，而把“可逆”和“有单位元”看作“公理”。
但这样做的后果是，有一些在“代数系统”中定义过的概念在“群”中需要重新定义（例如，按群论的定义，“{e}”是“平凡子群”。但如果把群看成是仅有一个运算的代数系统，那么{e}就不是“平凡子代数”了）。
如果按我说的定义，就不会出现这种问题。
不过我承认：按教材上对“群”的定义，“群<Z, +>”并不是“代数系统<Z, +, -1, 0>”。按教材上的定义，群<Z,+>是没有代数常元和一元运算的……
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Three passions, simple but overwhelmingly strong,
have governed my life: the longing for love, the
search for knowledge, and unbearable pity for the
suffering of mankind.
- Bertrand Russell

2006/8/25 21:48:00

Logician

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	第6楼

以下是引用zsmjlu在2006-8-25 21:27:00的发言：
我不同意logician的是课本227页上说 [I][size=4]代数系统<N,+,0>可简记为<N,+>,[/[/size]I]此时<N,+,0> 不是群吧,也能记为<N,+>

我没有说“任何写成<A,+>形式的代数系统都可以看成“<A,+,-1,0>”呀。
我只说“群<A,+>可以看成<A,+,-1,0>”。
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2006/8/25 21:54:00

Smilingface

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	第7楼

以下是引用Logician在2006-8-25 21:48:00的发言：
我觉得我的举例没有问题呀……
我们可以这样重新定义“群”：群是一个有3个运算的代数系统<A,*,-1,e>，其中二元运算*满足结合律，一元运算-1满足“对任意x∈A，x*x^(-1)=e”，而e是代数常元，且e满足“对任意x∈A，x*e=e*x=x”。
这一观点在教材习题17.37中提到过。
当然，教材上的定义不是这样的。教材上把群<A,*>定义是只有一个二元运算，没有一元和零元运算的代数系统，而把“可逆”和“有单位元”看作“公理”。
但这样做的后果是，有一些在“代数系统”中定义过的概念在“群”中需要重新定义（例如，按群论的定义，“{e}”是“平凡子群”。但如果把群看成是仅有一个运算的代数系统，那么{e}就不是“平凡子代数”了）。
如果按我说的定义，就不会出现这种问题。
不过我承认：按教材上对“群”的定义，“群<Z, +>”并不是“代数系统<Z, +, -1, 0>”。按教材上的定义，群<Z,+>是没有代数常元和一元运算的……

我觉得举例的问题就在于按教材上对“群”的定义，群<Z,+>是没有代数常元和一元运算的，如果我们要使群作为一个代数系统并具有代数常数，那就应该明确的进行指定，就像教材习题17.37所做的那样，所以我不赞成这句话：从代数系统的角度上说，“群<Z, +>”就是“代数系统<Z, +, -1, 0>”，不能说群一定有逆元和单位元，那我们就必须把它们作为代数常数，正如Abel以前所做的解答所言，代数常数是任意指定的。那麽跟它是不是有逆元，是不是有单位元是没有关系的。
不过看了Able大佬后面的回复：我只说“群<A,+>可以看成<A,+,-1,0>”。
我觉得这样就可以理解了，当需要的时候可以把群<A,+>看成<A,+,-1,0>，但是不能绝对的说从代数系统的角度上说，“群<Z, +>”就是“代数系统<Z, +, -1, 0>”，如果需要的话，也可以看成是代数系统<Z, +, -1>啊。
看来只是用词和我的理解上的偏差问题。：）

2006/8/26 9:45:00

Logician

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	第8楼

以下是引用Smilingface在2006-8-26 9:45:00的发言：
我觉得举例的问题就在于按教材上对“群”的定义，群<Z,+>是没有代数常元和一元运算的，如果我们要使群作为一个代数系统并具有代数常数，那就应该明确的进行指定，就像教材习题17.37所做的那样，所以我不赞成这句话：从代数系统的角度上说，“群<Z, +>”就是“代数系统<Z, +, -1, 0>”，不能说群一定有逆元和单位元，那我们就必须把它们作为代数常数，正如Abel以前所做的解答所言，代数常数是任意指定的。那麽跟它是不是有逆元，是不是有单位元是没有关系的。
不过看了Able大佬后面的回复：我只说“群<A,+>可以看成<A,+,-1,0>”。
我觉得这样就可以理解了，当需要的时候可以把群<A,+>看成<A,+,-1,0>，但是不能绝对的说从代数系统的角度上说，“群<Z, +>”就是“代数系统<Z, +, -1, 0>”，如果需要的话，也可以看成是代数系统<Z, +, -1>啊。
看来只是用词和我的理解上的偏差问题。：）

嗯。你说的对。我说的“从代数系统的角度上说，‘群<Z, +>’就是‘代数系统<Z, +, -1, 0>’”的确不妥。谢谢指正！：）
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2006/8/26 16:02:00

zsmjlu

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	第9楼

楼上大虾门的讨论我理解了，不过今天看课本例16.2,其中提到"V不是M2(R)的子独异点,因为M2(R)中关于*运算的单位元不不属于A",子独异点不就是子代数吗，这个..............

是否与前边讨论的冲突(代数常元的问题),例15.13"因为A对M的零元运算不封闭"等价于*M2(R)中关于*运算的单位元不不属于A"吗,(如果课本没错的话，那什么地方不太对呢?还是我理解偏差)
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2006/8/26 17:13:00

Logician

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	第10楼

因为“独异点”的定义中已经明确说明要把单位元e定义为代数常元。（参见教材定义16.1）。
教材中关于独异点的定义可以理解为：独异点是一个有着一个二元运算*和一个零元运算e（代数常数）的代数系统，其中该零元运算e的值恰为运算*的单位元。
所以按教材中的定义，说“该独异点中的单位元e”和“该独异点中的代数常元e”是一回事。
这就是为什么说<A,·>是子半群也是独异点，但<A,·,(1 0\n 0 0)>却不是<M_2(R),·,(1 0\n 0 1)>子独异点。（<A,·>是子半群因为它对所有的运算都封闭，<A,·,1 0\n 0 0)>对零元运算(1 0\n 0 1)不封闭）。
教材中的说明沿用了以前（即，不使用抽象的“代数系统”概念，而直接逐一定义半群、子半群、独异点、子独异点等概念）的讲法。如果不使用“代数系统”、“代数常数”、“零元运算”等概念，那么子独异点的定义就是这样的：“若A是对运算*构成独异点，B是A的子集，B对运算*封闭，且A对运算*的单位元e属于B，则称B是A的子独异点”。现在用了“代数系统”的概念，就不应该这样说了，而应该说“B对<A，*,e>中所有运算（包括零元运算e）封闭，则称<B,*,e>是<A,*,e>的子独异点”。
我们前面讨论的意思是说：如果我们把其它的运算定义成代数常数的确是可以的（即，的确也是一个代数系统），但这样定义出来的代数系统却不符合教材上对“独异点”的定义，从而不是独异点。换言之，<N,+,2>也是代数系统（其中2是代数常元，而0不是代数常元），但不是“独异点”。
所以只要说了是“独异点”，那么根据它的定义就已经暗示了：它有且仅有一个代数常元，即，该系统中二元运算的单位元。

[此贴子已经被作者于2006-8-27 4:22:04编辑过]
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2006/8/26 18:36:00

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