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     * 贴子主题： [Logician每周一题] 离散数学第一期（群论） 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
       本主题类别: 抽象代数    
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 [Logician每周一题] 离散数学第一期（群论）

    现在考研基本结束了，我们来办点小活动，繁荣一下版面吧？
    以后我争取每周出一道有趣的小问题，欢迎大家有空来看看、做做。：）
    第一个给出完整（或基本完整）答案的网友将得到积分奖励（在每年年末本论坛的“优秀会员”评选中，当年积分增量靠前的会员将获得实物奖励）。
    如果没有人给出比较完整的答案，我会在下一期题目发出前给出这期题目的解答。：）

    本期题目：
    （1）最小的非交换群是几阶的？请证明你的结论。
    （2）在同构意义下，这样的群共有几个？请证明你的结论。
    （3）请大致描述上述群的运算表（不必给出完整运算表）。


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    ----------------------------------------------
    Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
    have governed my life: the longing for love, the
    search for knowledge, and unbearable pity for the
    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/3/27 3:23:00
     
     ieeetemp2009 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    和大家讨论一下，轻拍啊。。。

    （1）最小的非交换群是几阶的？请证明你的结论。
      1阶只有一个元素，{e}，是交换群；
      2阶段群、3阶群是素数阶群，显然是循环群，当然是交换群；
      4阶段群可以是循环群，当是循环群的时候是交换群；也可以是klein四元群，klein四元群也是交换群；
      5阶群是素数阶群，故是循环群。
      只有6阶群，当6阶群不是循环群的时候，是非交换群。所以最小非交换群是6阶群。

    （2）在同构意义下，这样的群共有几个？请证明你的结论。
    6阶群同构意义下有2个，期中一个是循环群，一个是和S6同构的群，证明参考离散数学教材。

    （3）请大致描述上述群的运算表（不必给出完整运算表）
    参见教材。

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/3/27 11:54:00
     
     碧海晴天 帅哥哟，离线，有人找我吗？双鱼座1985-3-19
      
      
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    发贴心情 
    刚开始看，才看完第一章刚到一阶逻辑，后面的还不会

    ----------------------------------------------
    http://hd132.15150.com/photo/2006_11_12/16037_17331938.jpg

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/3/27 12:20:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    不错。：）

    两个小问题：第一，证明一下“在同构意义下，只有4阶循环群和Klein四元群这两个4阶群”；
    第二，那个非交换的6阶群是与S_3（而不是与S_6）同构的群。：）

    以下是引用ieeetemp2009在2007-3-27 11:54:00的发言：
    和大家讨论一下，轻拍啊。。。

    （1）最小的非交换群是几阶的？请证明你的结论。
       1阶只有一个元素，{e}，是交换群；
       2阶段群、3阶群是素数阶群，显然是循环群，当然是交换群；
       4阶段群可以是循环群，当是循环群的时候是交换群；也可以是klein四元群，klein四元群也是交换群；
       5阶群是素数阶群，故是循环群。
       只有6阶群，当6阶群不是循环群的时候，是非交换群。所以最小非交换群是6阶群。

    （2）在同构意义下，这样的群共有几个？请证明你的结论。
    6阶群同构意义下有2个，期中一个是循环群，一个是和S6同构的群，证明参考离散数学教材。

    （3）请大致描述上述群的运算表（不必给出完整运算表）
    参见教材。


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    Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
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                                - Bertrand Russell

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/3/27 13:37:00
     
     樱之蝶舞 美女呀，离线，快来找我吧！
      
      
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    发贴心情 
    我还没看到呢,加快脚步,以后积极参与!
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/3/28 8:56:00
     
     DavidPotter 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
      等级：大三暑假(ITELS考了6.5分!)
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    发贴心情 
    abel真是热心亚！

    ----------------------------------------------
    Don‘t try so hard, the best things come when you least expect them to.

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/3/30 12:51:00
     
     heroheart00 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
      等级：大一新生
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    发贴心情 
    “每周一题”真是太好了，虽然我还不会，但要强烈支持，楼主辛苦了
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/6/10 13:55:00
     
     王汉文 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
      等级：大一(猛啃高等数学)
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    发贴心情 
    楼主真是人才呀！小弟佩服
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/1/25 18:03:00
     
     albani 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
      等级：大二期末(汇编考了97分!)
      文章：89
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      注册：2007/7/22

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    发贴心情 
    这帖办得很好~~DavidPotter大哥都来了
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/1/25 18:52:00
     
     九九 帅哥哟，离线，有人找我吗？射手座1984-11-25
      
      
      等级：大二期末(Java考了96分!)
      文章：49
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      注册：2007/5/27

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    发贴心情 
    1）
        1。非交换群必然存在阶数大于2的元素
        2。群中元素的阶是群阶数的因子
        3。循环群是交换群
        N<6阶非循环群，不存在阶数大于2的元素，所以最小可能是6阶群 （S_3不是交换群）

    证明如下：
    对于一个2阶数只有2和1的群有
    ae=ea;
    ab=(ab)-1=b-1a-1=ba;
    所以必然为交换群；

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/1/28 22:52:00
     
     GoogleAdSense射手座1984-11-25
      
      
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    2024/11/22 14:21:58

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