中文XML论坛--g有有限个子群g就是有限群?

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------子群要是无限呢?g还是有限群..........

------为啥有限集到自身的满射必是单一的..............

------6阶群到18阶群的所有同态映射是哪几个

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1、对，如果G只有有限个子群，G就是有限群。这一点可以这样考虑：反设G是无限群，那么分两种情况：（1）如果G中有无限阶元a，那么<a>是无限阶循环群，从而<a^2>,<a^3>,...,<a^k>,...都是G的互不相同的子群，从而G有无限多个子群，矛盾。（2）如果G中没有无限阶元，则G中每个元素都是有限阶的，记S={<x>|x∈G}，则|S|也是有限的（否则，如果S是无穷集合，而S中每个元素都是G的子群，从而G有无限多个子群，矛盾）。注意到，G=∪S。这就是说，G是有限个有限集合的并，从而是有限的。

2、用归纳法，对集合的阶数作归纳。

3、6阶群到18阶群？6阶什么群？18阶什么群？循环群？

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第3个是指6阶循环群到18阶循环群

虽然知道答案，但头脑中没这个概念，联想不出来.....

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C_6={e,a,a^2,...,a^5},C_18={e,b,b^2,...,b^17}。
对任意同态f:C_6->C_18，必有(f(a))^6=e，从而f(a)可以等于e、b^3、b^6、b^9、b^12或b^15。这6种映射方式，每种都唯一地决定一个同态。所以一共有6个同态。

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以下是引用Logician在2006-9-4 21:28:00的发言：

2、用归纳法，对集合的阶数作归纳。

没想出来,不过到想到了这个

对于{(e,a),*}来说 a^2=e,a!=e,e是单位元,到自身映射 f(a)=a^2
是单射吗?.....................

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以下是引用zsmjlu在2006-9-5 13:14:00的发言：
对于{(e,a),*}来说 a^2=e,a!=e,e是单位元,到自身映射 f(a)=a^2
是单射吗?.....................

你这个是满射？

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以下是引用zsmjlu在2006-9-4 17:53:00的发言：
------为啥有限集到自身的满射必是单一的..............

我想到几个证法，不过感觉都不是特别理想。

命题：对任何自然数n，若S是n阶有限集，T是任意集合，card T≥n。若f:S->T是满射，则f必是单射（从而是双射）。

证法一（直接使用归纳法）：对n作归纳法。
    当n=1时，从S到任何集合映射都必然是单射（因为对所有x,y∈S，恒有x=y，所以“f(x)=f(y) -> x=y”恒为真）。
    若n=k时，命题成立。则当n=k+1时，设φ和是S到n双射。设f:S->T是从S到T的满射。
    令x=φ^{-1}(k)，记f(x)=y。
    下面证明，f^{-1}(y)={x}（即，不存在其它元素z≠x，使得f(z)=y）。若不然，则有f(S-{x})=T。此时f↑(S-{x})是从S-{x}到T的满射，|S-{x}|=k，由归纳假设，f↑(S-{x})是双射。这就是说，k=|S-{x}|=|T|，这与前提card T≥n=k+1矛盾。
    这就是说，必有f((S-{x})=T-{y}。此时，f↑(S-{x})是从S-{x}到T-{y}的满射，|S-{x}|=k。由归纳假设，f↑(S-{x})是单射。
    对任何x_1,x_2∈S，若f(x_1)=f(x_2)，分两种情况：
    情况一：若f(x_1)=f(x_2)=y，则由于f^{-1}(y)={x}，所以必有x_1=x_2=x。
    情况二：若f(x_1)=f(x_2)≠y，则x_1,x_2∈S-{x}，而f↑(S-{x})是单射，从而 f(x_1)=f(x_2) => f↑(S-{x})(x_1)=f↑(S-{x})(x_2) => x_1=x_2。
    总之，对任何x_1,x_2∈S，若f(x_1)=f(x_2)，就有x_1=x_2。这就证明了f是单射。

证法二（使用选择公理）：反设f不是单射。则令D={f^{-1}(x) | x∈T}。由选择公理，存在映射g:D->S，使得对所有x∈D，有g(x)∈x。由D的定义和g(x)∈x易证，g是单射。
    令h=g·f^{-1}。注意到，h不是满射（因为f不是单射，所以存在a,b∈S，a≠b，f(a)=f(b)。反设h是满射，则存在元素A,B∈D，g(A)=a≠b=g(B)，由于g是映射，所以A≠B。但由定义应有，A=f^{-1}(a)=f^{-1}(b)=B。矛盾）从而h(S)是S的真子集。
    另一方面，由D的定义和g的性质易证，h是单射。这就是说，h是从S到h(S)的双射。这与教材定理5.5的推论1“不存在与自己的真子集等势的有穷集合”矛盾。

证法三（利用自然数“最小元”性质）：修改“证法二”中g的选择方法。由于S是有限集，所以存在自然数n和双射φ:S->n。对任意A∈D（D的定义见“证法二”），令g(A)=φ^{-1}(min(φ(A)))。即，g(A)为A中“编号”（φ(x)的大小）最小的一个。
其余部分同“证法二”。

[此贴子已经被作者于2006-9-5 18:06:59编辑过]

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又想了一下,基本有这个概念了,可不可以这么理解,f是G到G 的满射,则ran f =G, 且dom f 的元素数不可能比ran f的元素少,而G 有限,若不是单射,则至少有元a ,b,c属于G,使得f(a)=c,f(b)=c,此时ran f<G,故必为单射

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以下是引用zsmjlu在2006-9-6 14:35:00的发言：
又想了一下,基本有这个概念了,可不可以这么理解,f是G到G 的满射,则ran f =G, 且dom f 的元素数不可能比ran f的元素少,而G 有限,若不是单射,则至少有元a ,b,c属于G,使得f(a)=c,f(b)=c,此时ran f<G,故必为单射

就是这个意思。
也可以用鸽巢原理来理解：n个鸽子飞到n个鸽巢里，如果某个鸽巢有多于一个鸽子（不是单射），那么肯定有空鸽巢（不是满射）。反过来，如果没有空鸽巢（从而是满射），那么肯定不会有鸽巢有多于一个鸽子（从而是单射）。

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这次清楚了呵呵


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